V 권
정의
비례식의 더한 비례식은 첫째 크기와 둘째 크기을 더한 크기와 둘째 크기와의 비율과 셋째 크기와 넷째 크기을 더한 크기와 넷째 크기와의 비율을 구하는 것이다.
비례식 \(a:b=c:d\)의 더한 비례식은 \(a+b:b=c+d:d\)이다.
비례식의 뺀 비례식은 첫째 크기에서 둘째 크기을 뺀 크기와 둘째 크기와의 비율과 셋째 크기에서 넷째 크기을 뺀 크기와 넷째 크기와의 비율을 구하는 것이다.
비례식 \(a:b=c:d\)의 더한 비례식은 \(a-b:b=c-d:d\)이다.
비례식의 전환 비례식은 첫째 크기와 첫째 크기에서 둘째 크기을 뺀 비율과 셋째 크기와 셋째 크기에서 넷째 크기을 뺀 비율을 구하는 것이다.
비례식 \(a:b=c:d\)의 전환 비례식은 \(a:a-b=c:c-d\)이다.
명제 17과 명제 18은 다음과 같은 비례식으로 나타낼 수 있다.
1) \((u+v):v=(x+y):y\)
2) \((u+v):u=(x+y):x\)
3) \(u:v=x:y\)
[V권 명제 17]과 [V권 명제 18]은 위의 비례식 1)과 3)이 같다는 것을 보여준다. 즉, 비례식 2)와 3)의 역 비례식인 v:u=y:x도 같다. 그리고 물론 3)과 그 역 비례식은 같으므로 세 개의 비율은 모두 동일하다.
게다가, 모든 크기가 같은 종류일 때, 바꾼 비율은 [V권 명제 16]에서 6개의 같은 명제를 진술함으로써 또한 같다.
4) \((u+v):(x+y) =v:y\)
5) \((u+v):(x+y)=u:x\)
6) \(u:x=v:y\)
[V권 명제 19]는 4)가 5)이고 그 따름 명제는 1)이면 2)라는 것을 보이고 있다.