증명

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네 개의 크기 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$, $c$, $f$가 있다. 임의의 $p$에 대하여, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=p\cdot c$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=p\cdot f$이라고 하자.

그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=c:f$를 보이자.

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$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=p\cdot c$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=p\cdot f$인 것 처럼 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 동일한 크기 $c$인 $p$개로 나눌 수 있듯이 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$도 동일한 크기 $c$인 $p$개로 나눌 수 있다.

($p=3$ 일 때이다.) $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}=c$인 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}$로 나누었다. 그리고 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$도 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}}=f$인 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}$, $\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}$, $\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}}$로 나누었다. 그러면 나누어진 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}$의 개수와 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}$, $\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}}$의 개수가 같다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}$이고 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}:\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}}$이다. [V권 명제 7]

그러므로 [V권 명제 12]에 의해서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=(\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}):(\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}+\overline{\mathrm{K}\mathrm{L}}+\overline{\mathrm{L}\mathrm{E}})$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=c$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=f$이므로 $c:f=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이다.

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그러므로 어떤 두 개의 크기의 비율을 각 크기를 크기가 같은 임의의 개수로 나누자. 그러면 각각 나누어진 한 개의 크기의 비율은 어떤 두 크기의 비율과 같다.

Q.E.D.