I 권
정의
정의 17
원의 ‘지름’은 중점을 지나 양쪽으로 원둘레에 다다를 때까지 그린 선분이다. 지름은 원을 이등분한다.
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부연설명
원 \(\rm ADBE\)의 중심 \(\rm C\)를 지나는 선분 \(\rm AB\)를 원 \(\rm ADBE\)의 지름이라고 한다. 지름 \(\rm AB\)는 원 \(\rm ADBE\)를 두 개의 반원 \(\rm ACBD\)와 반원 \(\rm ACBE\)로 이등분한다.
정의에서 '지름은 원을 이등분한다.'는 것이 추가된 것이 조금 이상할 수도 있다. 필요가 없어 보인다. 그러나 이 설명이 없다면 유클리드는 반원이란 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러산 도형 도형이라는 말을 할 수 없게 된다.
심플리치우스에 의하면 지름을 'diameter'라고 부르는 이유는 원이라는 도형을 재듯이 지나가며, 또한 원을 두 개의 똑같은 크기로 자르기 때문이다.
포로클루스에 의하면 지름이 원을 이등분한다는 것을 처음 증명한 사람이 탈렐스였다. 왜냐하면 '직선이 쭉 곧게 중심을 지나기 때문이다.'라고 하였다. 대칭성의 성질에 이용한 것이다. 그는 다음과 같이 수학적 증명을 설명 하였다.
지름을 그은 다음 원이 나누어진 한쪽 부분을 다른쪽 부분에 겹쳐 놓는다고 생각하면 된다. 그러면 이 둘이 서로 일치하는 게 확실하다. 만약 이들이 일치하지 않는다면, 하나가 다른 하나의 안쪽이나 바깥쪽에 놓인다. 그러면 중심에서 워둘레로 그은 직선들의 길이가 서로 다르게 된다. 이것은 모순이다.
생각해 보기
원 \(\rm MDHNKM\)이 있다. 이 원의 중심은 \(\rm A\)이며 선분 \(\rm MN\)이 지름이라고 하자. 두 점 \(\rm M\), \(\rm N\)을 고정하고 반원 \(\rm MNKM\)을 돌려 반원 \(\rm MNHDM\)에 일치하도록 한다.
1 단계) 그러면 지름 \(\rm MAN\)의 모든 점은 원래 위치에 그대로 있다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면 두 선분이 어떤 넓이를 둘러싸게 되므로 보조법칙 (1)에 모순이다. 점 \(\rm M\), \(\rm N\)은 고정된 점인 것을 유념하여라.
2 단계) 원둘레 \(\rm NKM\) 위에 있는 임의의 점 \(\rm K\)는 지름 \(\rm MAN\)과 원둘레의 다른 부분 \(\rm NHDM\)으로 둘러쌓인 도형의 내부 영역이나 외부 영역에 놓일 수 없다. 왜냐하면 만약 그렇게 된사면, 반지름 \(\rm AK\)가 다른 반지름 \(\rm AH\)보다 짧거나 길게 된다. 이것은 원의 정의에 모순이 된다.
3 단계) 임의의 반지름 \(\rm MA\)은 이것을 길게 늘일 수 있는 방법은 다른 한 반지름 \(\rm AN\)을 따라 늘이는 방법뿐이다. 왜냐하면 만약 이렇게 할 수 있는 여러 곳이 있다면, 예를들어 두 선분 \(\rm MAN\)과 \(\rm MAH\)가 선분 \(\rm MA\)를 공유하므로 보조법칙 (2)에 모순이다.
4 단계) 보조법칙 (3)에 의해서 원의 지름들은 모두 중심에서 서로를 자르고 지나간다. 그리고 이들은 원의 성질에 의해서 서로 길이가 같은 반지름 둘로 자른다.
그러므로 지름 \(\rm MAN\)은 원과 원둘레를 정확하게 똑같은 두 부분으로 나눈다.
또한 이 원의 다른 지름들도 마찬가지로 원과 원둘레를 정확하게 똑같은 두 부분으로 나눈다.
Q.E.D.