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증명

주어진 선분 \(\rm AB\)로 정삼각형을 작도하여야 한다.

1) 풀이(작도)

주어진 선분 \(\rm AB\)의 길이를 \(\overline{\rm AB}\)이라고 하자.

중심이 \(\rm A\)이고 반지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원 \(\rm BCD\)을 그리고, [I권 공리 3]

중심이 \(\rm B\)이고 반지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원 \(\rm ACE\)을 그리자. [I권 공리 3]

두 원 \(\rm BCD\), \(\rm ACE\)의 두 개의 교점 중 한 교점을 \(\rm C\)라 하고, 두 선분 \(\rm CA\)와 \(\rm CB\)를 그리자. [I권 공리 1]

세 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)가 세 변인 삼각형 \(\rm ABC\)를 작도 하였다.

2) 증명(논리적 정당화)

작도한 삼각형 \(\rm ABC\)가 정삼각형임을 보이자.

점 \(\rm C\)는 원 \(\rm BCD\) 위의 점이므로 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm AB}\)이고, [I권 정의 15]

그리고 점 \(\rm C\)는 원 \(\rm ACE\) 위의 점이므로 \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm BA}\)이다. [I권 정의 15]

따라서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BA}\)이므로 [I권 일반상식 1] \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm BC}\)이다.

따라서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CA}\)이다.

그러므로 작도된 세 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CA\)로 만들어진 삼각형 \(\rm ABC\)는 세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형이다. [I권 정의 20]

그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)가 주어진 선분 \(\rm AB\)로 작도한 정삼각형이다.

Q.E.F.

단어 없는 애니메이션 증명

부연설명

두 원 \(\rm BCD\), \(\rm ACE\)의 교점이 두 개인데 이 중 한 개의 점 \(\rm C\)를 어떻게 선택을 하여야 하는 문제가 남아 있다. [III권 명제 10]에서 두 원의 교점의 수가 2개를 초과할 수 없다는 것을 증명한다. 또한 교점을 어떤 것으로 선택을 하여도 정삼각형이 작도된다. 정삼각형이 두 개든 한개든 상관이 없다고 할 수 있다. 즉, 정삼각형이 적어도 한 개가 있음을 보이는 것 만으로 충분하다.

논리적으로 [I권 명제 1]은 [I권 명제 2], [I권 명제 3], [I권 명제 4]를 사용하지 않았다.

이 명제는 [I권 명제 2], [I권 명제 9], [I권 명제 10], [I권 명제 11] 그리고 [XI권 명제 11], [XI권 명제 22]에서 사용된다.

유클리드는 왜 [I권 명제 1]를 첫 번째로 제시를 하였을까? [XIII권]에서 5개의 정다면체를 만드는 것으로 끝맺기 때문에 정삼각형을 작도로 시작하는 것은 미학적으로 매우 아름답다.

이렇게 짧고 명확하며 이해할 수 있는 증명이 이렇게 논리적 구멍으로 가득 차 있는 것은 놀라운 일이다. 이는 정당성이 충분하지 않은 진술이 나오는 논리적 공백으로 이 명제가 «원론»의 첫 번째 명제이기 때문에 수세기 동안 다른 어떤 증명보다도 많은 비판을 받았다.

점 \(\rm C\)가 존재하는 이유는 무엇인가? 증명의 시작 부분에서 원이 교차하는 곳에 점 \(\rm C\)가 있다고 언하고는 있지만, 그 존재에 대한 정당성은 어디에도 없다. 유클리드의 가정 중 유일하게 점이 존재한다고 말하는 것은 평행 가정인데, 그 가정은 이 증명에서는 관련이 없다. 실제로 "두 원의 반지름의 합이 두 원의 중심을 잇는 선보다 크면 두 원은 교차한다."와 같은 결론을 내리기 위해서는 몇 가지 가정이 필요하다. 이러한 가정은 [I. 명제 22]에서도 필요하다. 원이 교차하지 않는 기하학 모델도 있다. 따라서 유클리드가 언급하지 않은 다른 가정이 필요다. [III권]에서 유클리드는 원이 만날 수 있는 가능한 방법을 분석하는 데 어느 정도 주의를 기울였지만, 더 주의를 기울였지만 누락된 가정이 있다.

삼각형 \(\rm ABC\)가 평면도형인 이유는 무엇인가? 세 개의 직선 \(\rm AC\), \(\rm AB\), \(\rm BC\)이 같다고 결론을 내린 후 평면도형 \(\rm ABC\)를 포함해야 하는 근거는 무엇인가? 삼각형은 세 개의 선으로 둘러싸인 평면도형이라는 것을 기억하자. 이 선들은 평면에 놓여 있다는 것과 전체 도형이 평면에 놓여 있다는 것을 보이지 않았다. 선의 모든 부분이 평면에 놓여 있다고 주장하는 것이 [XI권 명제 1]이고, 삼각형 전체가 평면에 놓여 있다고 주장하는 것이 [XI권 명제 2]이다. 논리적으로 이 두 명제는 [I권 명제 1]에 선행해야 한다. 물론 그렇지 않은 이유는 이 명제들이 입체 기하학에 속하고, 평면 기하학이 «원론»에서 가장 먼저 발전했기 때문이며, 역사적으로도 평면 기하학이 가장 먼저 발전했기 때문이다.

왜 삼각형 \(\rm ABC\)는 정삼각형을 포함하고 있을까? 프로클로스(Proclus)는 기원전 1세기 초 에피쿠로스 철학자 시돈의 제노(유클리드보다 훨씬 이전에 살았던 역설로 유명한 엘레아의 제노와 혼동하지 말 것)의 증명에 대한 비판이 일찍이 있었다고 말하였고, 그의 비판은 포시도니우스의 책에서 반박되었다고 설명하였다. 그러나 비판은 정상적이지만 반박은 잘못되었다.

시돈의 제노는 이 명제의 증명에 대해 변이 꼭짓점에 도달하기 전에 만나지 않는다는 것을 보여주지 않았다고 비판하였다. 두 직선 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)가 점 \(\rm C\)에 도달하기 전에 점 \(\rm E\)에서 만난다고 가정하면, 즉 직선 \(\rm AEC\)와 \(\rm BEC\)가 공통 선분 \(\rm EC\)를 갖는다고 가정하자. 그러면 이 두 직선은 정삼각형이 아니라 이등변인 삼각형 \(\rm ABE\)를 포함하게 된다.

제노는 자신의 반례를 무너뜨리기 위해서는 직선이 공통 선분을 가질 수 없다고 가정해야 한다는 것을 인식했다. 프로클로스는 [XI권 명제 1]에서 발견된 것과 같은 진술에 대한 추정된 증명에 대해 이야기를 하지만 그것은 오류을 가지고 있다. 프로클로스와 포시도니우스는 결코 증명된 적도 없고 가정된 적도 없는 선과 원의 성질을 가설로 인용하였다.

배제되지 않은 가능성은 제노의 예보다 훨씬 더 많다. 면은 여러 번 만날 수 있고, 면이 포함된 영역은 거품으로 이루어진 목걸이처럼 보일 수도 있다. 무한히 확장된 두 직선이 최대 한 점에서만 만날 수 있다는 것을 보여줄 필요가 있다(또는 공리로 가정할 필요가 있다).